密率求圆幂第五
方者象地圆者法天方圆相求自然真率其数出于河图雒书而
非人所为也河以通乾其数十雒以流坤其数九乾坤交泰互藏
其宅故九为地而十为天天句地外地居天内天有四方每方十
寸其周为四尺则圆之周率也地有四方每方九寸其弦为一尺
二寸七分二厘七毫九丝二忽二微有奇则圆之径率也周公嘉
量之制测圆之术盖已具焉所谓方尺而圆其外得弦一尺四寸
一分四厘二毫一丝三忽五微六纤有奇是名方圆总率其测圆
周径相求与半九为乘除积径相求与倍九为乘除半九者四寸
五分也倍九者一尺八寸也黄钟倍半自然之理律度量衡所由
生也因而九之即得前率九归还元复得今率此二法相通也推
理而论圆中必容方焉方无形圆有形其方居圆十分之九是故
测圆之术必先求其容方而后知其周径径求周用弦求勾股之
术得其一面之方四因其方而九除之即圆周也周求径九因其
圆而四除之用勾股求弦之术得其两角之斜即圆径也此古法
之妙欤战国已来数学失传至汉张苍掇拾民间猥浅之法用补
黄帝九章后世宗之以为数学根本张丘建夏侯阳孙子五曹复
推演之其测方圆乃有直五斜七围三径一之说筭家指此名为
古率然实非古法也夫直五斜七斜实有余围三径一径实不足
浅陋之士岂能察哉刘歆王蕃祖冲之辈盖尝订正之矣其测圆
或以为径七周二十二或以为径四十五周一百四十二或以为
径一百一十三周三百五十五虽颇密于径一围三要之皆未得
自然之理也祖氏制率初意盖谓圆积一亿分则其径一百一十
三尺乃一万一千三百分周三百五十五尺乃三万五千五百分
试以其法筭之半径半周相乘得积一亿而强二十八万七千五
百分盖周径之分太多也号为密率密安在哉天地自然真率及
周公方圆总率筭律之士诚不可忽今详解之其法如左
天地自然真率诀曰
容方九寸以象雒书天地自然岂不妙欤
试验之法用纸大小二幅其方中矩用意比对四面相同小者
每面皆方九寸大者皆方一尺三寸置于平处小者在大者上
中心定针于小者四角外运规仅容四角丝毫不可多也片纸
作寸移量圆周针尖点识恰好四十整寸欲求圆之径数即是
方之斜弦勾股求弦术横方九寸为勾自乘得八十一寸纵方
九寸为股自乘得八十一寸并之得一百六十二寸为实开平
方法除之得弦一尺二寸七分二厘七毫九丝二忽二微有奇
即圆周四尺之径数也是故以四尺为周率以一尺二寸七分
二厘七毫九丝二忽二微有奇为径率凡平圆以周求径置周
若干为实先以径率乘之后以周率除之以径求周置径若干
为实先以周率乘之后以径率除之以径求积置径若干为实
先自相乘又以十寸乘之得数后以径率除之以积求径置积
若干为实先以径率乘毕而以十寸除之得数然后开方以周
求积置周若干先自相乘进一位为实以径率乘毕后以周率
除二遍以积求周置积若干为实先以周率乘二遍以径率除
毕退一位然后开方诀曰圆周四十容方九勾股求弦数可知
遂以此为求径率求周求积亦如之是也