密率求方积第四
自乘为平方再乘为立方此筭家所共晓殊不知筭律亦然也平
方谓之幂立方谓之积夫幂之名本疏布手巾也古人用覆饮食
之器今世所谓举幂酌酒是也幂形方正纵横有纹筭术自乘其
数必方纵横正等有类乎幂故取名谓之幂非真幂也夫积者如
筭仓窖中五谷积实耳借立方术以求之者立方所得即是积实
之数故也凡筭修短度数则以十忽为丝十丝为毫十亳为厘十
厘为分十分为寸十寸为尺十尺为丈平方之术与此不同乃以
百忽为丝百丝为毫百毫为厘百厘为分百分为寸百寸为尺百
尺为丈盖平方者形如方砖东西南北四面皆方假如每面皆方
十寸则中积百寸矣是为方一尺也故曰百寸为尺立方之术则
又不然乃以千忽为丝千丝为毫千毫为厘千厘为分千分为寸
千寸为尺千尺为丈盖立方者形如方台上下左右前后六面皆
方假如每面皆方十尺则中积千尺矣是为方一丈也故曰千尺
为丈平圆立圆其积牢于平方立方之术方术未解而欲测圆□
矣律孔本圆今欲求圆先求方者数乃无形之物方分实诸圆器
之中则无不随其圆若作圆分则有空隙而不实矣自宋范镇创
以圆分为积此乃臆说非正理也圆分之法在理必无而纵黍之
法于理则有假如横黍平方每寸百分纵黍则每寸惟八十一分
横黍立方每寸千分纵黍则每寸惟七百二十九分盖以九为法
也求之亦各有术然约十而为九布筭烦琐无益于事故自此至
终篇专以横黍言之不复更求纵黍先儒亦云凡律径围之分以
十为法者天地之全数也以九为法者不过因三分损益而立耳
则圆分之说不能通于围径亦可见矣
求十二律积实新法
置黄钟横黍度长十寸自乘得一百寸倍之得二百寸为实开
平方法除之得一十四寸一四二一三五六二三七三○九五
〇四进一位命作立方积一百四十一寸四百二十一分三百
五十六厘二百三十七毫三百○九丝五百○四忽为实别将
律数十二自乘得一百四十四为法除之得黄钟积实
黄钟积实九百八十二分○九十二厘七百五十一毫六百四十
七丝九百八十二忽
置黄钟积实在位以十兆乘之为实以十一兆二千二百四十
六万二千○四十八亿三千○九十三万七千二百九十八为
法除之得大吕积实余律皆放此
大吕积实八百七十四分九百四十五厘一百七十三毫五百三
十八丝一百○六忽
太蔟积实七百七十九分四百八十七厘五百三十三毫五百四
十八丝一百七十五忽
夹钟积实六百九十四分四百四十四厘四百四十四毫四百四
十四丝四百四十四忽
姑洗积实六百一十八分六百七十九厘六百六十五毫三百七
十五丝二百三十五忽
仲吕积实五百五十一分一百八十厘〇九百二十毫○八百二
十二丝二百九十一忽
蕤宾积实四百九十一分○四十六厘三百七十五毫八百二十
三丝九百九十一忽
林钟积实四百三十七分四百七十二厘五百八十六毫七百六
十九丝○五十三忽
夷则积实三百八十九分七百四十三厘七百六十六毫七百七
十四丝○八十七忽
南吕积实三百四十七分二百二十二厘二百二十二亳二百二
十二丝二百二十二忽
无射积实三百○九分三百三十九厘八百三十二毫六百八十
七丝六百一十七忽
应钟积实二百七十五分五百九十厘○四百六十毫○四百一
十一丝一百四十五忽