筭学新说
郑世子载堉谨撰
所撰新说凡四种一曰律学二曰乐学三曰筭学四曰韵学
前二者其书之本原后二者其书之支派所以羽翼其书者也
夫筭学之有书其亦旧矣谓之新说何也且如陶经幂积相求
之类旧则疏而新则密平方不用商除立方不显廉法之类旧
则繁而新则简旧以句股为末专明九章新以句股为首专明
律历此其异也余则文虽小异要亦殊途同归者也
初学凡例
谨按内则曰六年教之数与方名十年出就外傅居宿于外
学书计所谓数即一二三四五六七八九十乃至百千万等项
之名也所谓计即一一退位一乃至逢九进一十等项之术也
中庸曰辟如行远必自迩辟如登高必自卑此之谓也
常数
一二三四五六七八九十
十一十二十三十四十五十六十七十八十九二十
二十一二十二二十三二十四二十五二十六二十七二十八二十九三十
三十一三十二三十三三十四三十五三十六三十七三十八三十九四十
四十一四十二四十三四十四四十五四十六四十七四十八四十九五十
五十一五十二五十三五十四五十五五十六五十七五十八五十九六十
六十一六十二六十三六十四六十五六十六六十七六十八六十九七十
七十一七十二七十三七十四七十五七十六七十七七十八七十九八十
八十一八十二八十三八十四八十五八十六八十七八十八八十九九十
九十一九十二九十三九十四九十五九十六九十七九十八九十九一百
大数
一十百千万十万百万千万万万为亿
一亿十亿百亿千亿万亿十万亿百万亿千万亿万万亿为兆
一兆十兆百兆千兆万兆十万兆百万兆千万兆万万兆为京
大数有三等下等者十万为亿十亿为兆十兆为京之类是也
中等者万万为亿万万亿为兆万万兆为京之类是也上等者
万万为亿亿亿为兆兆兆为京之类是也大抵儒书中所载者
下等也筭书中所载者中等也其上等者未详所载而佛经中
则又与此三等不同今所用者特依筭书用中等之数耳
小数
几尺几寸几分几厘几毫几丝几忽几微几纤
此乃常人所晓次载平立二积与常不同初学者宜习之
平方积
平方百纤为一微百微为一忽百忽为一丝百丝为一毫百毫
为一厘百厘为一分百分为一寸百寸为一尺故曰
几十几尺几十几寸几十几分几十几厘
几十几毫几十几丝几十几忽几十几微
几十几纤
立方积
立方千纤为一微千微为一忽千忽为一丝千丝为一毫千毫
为一厘千厘为一分千分为一寸千寸为一尺故曰
几百几十几尺几百几十几寸几百几十几分
几百几十几厘几百几十几毫几百几十几丝
几百几十几忽几百几十几微几百几十几纤
又平积一四九
一十六二十五三十六
四十九六十四八十一
一巳上开一四巳上开二九巳上开三
一十六巳上开四二十五巳上开五三十六巳上开六
四十九巳上开七六十四巳上开八八十一巳上开九
一百巳上开一十四百巳上开二十九百巳上开三十
一千六百巳上开四十二千五百巳上开五十三千六百巳上开六十
四千九百巳上开七十六千四百巳上开八十八千一百巳上开九十
一万巳上开一百四万巳上开二百九万巳上开三百
一十六万巳上开四百二十五万巳上开五百三十六万巳上开六百
四十九万巳上开七百六十四万巳上开八百八十万巳上开九百
又立积一八二十七
六十四一百二十五二百十十六
三百四十三五百一十二七百二十九
一巳上开一八巳上开二二十七巳上开三
六十四巳上开四一百二十五巳上开五二百一十六巳上开六
三百四十三巳上开七五百一十二巳上开八七百十九巳上开九
一千巳上开一十八千巳上开二十二万七千巳上开三十
六万四千巳上开四十一十二万五千上开五十二十一万六千已上开六十
三十四万三千已上开七十五十一万二千已上开八十七十二万九千已开九十
一百万已上开一百八百万巳上开二百二千七百万巳上开三百
六千四百万巳上开四百一亿二千五百万己上开五百二亿一千六百尤已上开六百
三亿四千三百万已上开七百五亿一千二百万已上开八百七亿二千九百万忆上开九百
巳上凡例初学须知凡学开方须造大筭盘长九九八十一位
共五百六十七子方可筭也不然只用寻常筭盘四五个接连
在一处筭之亦无不可也其筭盘梁上帖纸一长条上写第一
位第二位等项字样使初学易晓也
第一问曰古云黄钟长九寸今云黄钟长十寸何也
答曰所谓九寸者度法之名也度生于律者也非律生于度也
古之神瞽考中声而制律当此之时律尚未成度尚未有则何
以知黄钟乃九寸哉及律成后遂将黄钟之管命为一尺故先
儒谓度本起于黄钟之长是知黄钟之长即度法一尺也若谓
黄钟止长九寸外加一寸而后成尺则非所谓度本起于黄钟
之长盖九寸者筭率云耳率也者假如之法也穿四壤五坚三
句三股四弦五之类是也假如黄钟长九寸则林钟长六寸假
如林钟长六寸则太蔟长八寸创此率者主意不过专为三分
损益而设今既察知三分损益其率疏舛不用三分损益则彼
黄钟九寸之说亦不可宗矣今则取法河图之数详列于左
五与十居中央为土为宫为君
四与九居西方为金为商为臣
三与八居东方为木为角为民
二与七居南方为火为征为事
一与六居北方为水为羽为物
第二问律家先求黄钟犹历家先求冬至也次求蕤宾犹夏至也
又次求夹钟犹春分也又次求南吕犹秋分也然后求大吕除黄
钟外诸律吕之首也其次求应钟诸律吕之终也亦犹历家所谓
履端举正归余也黄钟履端于始蕤宾举正于中应钟归余于终
故曰律历一道今黄钟正律长十寸蕤宾倍律正律各长几何
答曰黄钟长十寸是为平方面其两隅斜弦即蕤宾倍律倍律
折半即蕤宾正律也若以蕤正为平方面而其斜弦即黄正也
周礼栗氏为量内方尺而圆其外筭法求方之斜即圆之径得
斜弦一尺四寸一分四厘二毫一丝三忽五微六纤二三七三
〇九五○四八八〇一六八九即蕤宾倍律也折半得七寸○
七厘一毫○六忽七微八纤一一八六五四七五二四四○○
八四四五即蕤宾正律也
法曰置方面自乘为股幂别置方面
自乘为句幂相并为弦幂就置弦幂
为实看前式内为下法用开方归除法除之
于实首位归实有归不除余实倍下法
自此已后有归有除于实第一位归实
下法亦置于实第二位除实
余实倍下法于实第三位归实
下法亦置于实第三位除实
于第四位除实余实倍下法
于实第三位归实下法亦置
于实第四位除实于第五位除实
于第六位除实余实倍下法
于实第五位归实下法亦置
于实第五位除实于第六
位除实于第七位除实于第八位除实
余实倍下法于实第
六位归实下法亦置
体于实第六位除实于第七位除实
于第八位除实于第九位除实于第十
位除实余实倍下法
于实第六位归实下法亦置
于实第七位除实
于第八位除实于第九位除实于第
十位除实于第十一位除实于第十二位
除实余实倍下法
于实第七位归实下法亦置
于实第八位除实
于第九位除实于第十位除实于第十一
位除实于第十二位除实于第十三位除实
于第十四位除实余实倍
下法于实第八位归实
下法亦置
于实第九位除实于第十位除实
于第十一位除实于第十二位除实
于第十三位除实于第十四位除实
于第十六位除实余实
自此已后开至二十五位其术同前但纤已下不立名色共得
斜弦一尺四寸一分四厘二毫一丝三忽五微六纤二三七三
○九五○四八八〇一六八九即蕤宾倍律也折半即得蕤宾
正律与下条开方所得蕤宾正律数同
第三问黄正为方面斜弦即蕤倍前□□□□□□正为斜弦方
面即蕤正亦须明之今□□正律长十□□□□□□长几何
答曰长七寸○七□一毫○六□□□□□□□八六五四七
五二四四〇○八□四五即□□□□□
法曰置斜□□□□□□弦□于内减去句幂
□□□□□□□为实看前式内
□□□□□□□□□□之于实首位归实
倍下□有归不
除余实自此已□有□□□□一位于第二位归实
下法亦置于实
第三位除实□□五位□实余
实倍下法于□□位归实
下法亦□于实第
四位除实□□□位余实于第六位除实
于第七位□实呼余实倍下法
□□□于第六位归实下
法亦置于贲第六
位除实于第七位除实于第八征除实
于第九位除实于第十一位除实
余实倍下法
于实第六位归实下法亦置
于实第七位除
实于第八位除实于第九位除实
于第十位除实于第十一位除实于第
十二位除实于第十三位除实余实
倍下法于实
第七位归实下法亦置
于实第八位除实
于第九位除实于第十位除实于第十
一位除实于第十二位除实于第十三位
除实于第十四位除实于第十五位除实
余实
自此已后开至二十五位其术同前但纤已下不立名色所得
方面七寸〇七厘一毫○六忽七微八纤一一八六五四七五
二四四○○八四四五即蕤宾正律也加倍即得蕤宾倍律与
上条开方所得蕤宾倍律数同
第四问以黄钟正律乘蕤宾正律得平方积七十寸○七十一分
○六厘七十八毫一十一丝八十六忽五十四微七十五纤二四
四○○八四四五开午方所得即夹钟正律其长几何
答曰长八寸四分○八毫九丝六忽四微一纤五二五三七一
四五四三○三一一三五即夹钟正律也
法曰置所得蕤宾长
以黄钟长乘之得平方积
为实看前式内为下法用
开方归除法除之于实首位归实倍下法
有归不除余实
自此已后有归有除于实第二位
归实下法亦置于实第二
位除实于第三位除实余实
倍下法第
二位于第三位归实下法亦置
于实第四位除实于第
五位除实于第七位除实余实
倍下法
于实第四位归实下法亦置
于实第五位除实
于第六位除实于第七位除实于第
八位除实于第九位除实余实
倍下法
于实第五位归实下法亦置
于实第六位除实
于第七位除实于第八位除实于第
九位除实于第十位除实于第十一位除
实余实倍下
法于实第七位归实
下法亦置
于实第七位除实于第八位除实于第九
位除实于第十位除实于第十一位除实
于第十二位除实呼于第十三位除实
余实倍下法
于实第八位归实下法亦
置于实
第八位除实于第九位除实于第十位除
实于第十一位除实于第十二位除实
于第十三位除实于第十四位除实
于第十五位除实余实
自此已后开至二十五位其术同前但纤已下不立名色所得
长八寸四分〇八毫九丝六忽四微一纤五二五三七一四五
四三○三一一二五即夹钟正律也倍之得一尺六寸八分一
厘七毫九丝二忽八微三纤○五○七四二九○八六○六二
二五一即夹钟倍律也
第五问以黄钟正律乘蕤宾倍律得平方积一百四十一寸四十
二分一十三厘五十六毫二十三丝七十三忽○九微五十纤○
四八八○一六八九开平方所得即南吕倍律其长几何
答曰长一尺一寸八分九厘二毫○七忽一微一纤五○○二
七二一○六六七一七五○〇即南吕倍律也
法曰置所得蕤宾长
以黄钟长乘之得平方积
为实看前式内为下
法用开方归除法除之于实首位归实有归不除
余实倍下
法自此已后有归有除于实第二位归实
下法亦置于实第二位除实
余实二倍
下法于实第二位归实下
法亦置于实第三位除实于
第四位除实余实
倍下法于实第三位归实
下法亦置于实第
四位除实于第五位除实于第六位除实
余实倍
下法厘于实第五位归实下
法亦置于实第五位除实
于第六位除实于第七位除实于
第八位除实余实
倍下法第五位于第六位
归实下法亦置
于实第七位除实于第八位除实
于第九位除实于第十位除实
于第十二位除实余实
倍下法于实
第八位归实下法亦置
于实第八位除实于第九位
除实于第十位除实于第十一位除实
于第十二位除实于第十三位除实
于第十四位除实余实
倍下法于实第九位归
实下法亦置
于实第九位除实于第十位除实
于第十一位除实于第十二位除实
于第十三位除实于第十四位除实
于第十五位除实于第十六位除实余实
自此已后开至二十五位其术同前但纤已下不立名色所得
长一尺一寸八分九厘二毫○七忽一微一纤五○○二七二
一○六六七一七五〇○即南吕倍律也半之得五寸九分四
厘六毫○三忽五微五纤七五〇一三六〇五三三三五八七
五○即南吕正律也